детские
Дима Шпилер - детский психолог, тренер. Официальный сайт.
Дима Шпилер - детский психолог, тренер. Официальный сайт.
Поддержите сайт - подпишитесь на канал в Яндекс.Дзене!

О некоторых свойствах квадратного трехчлена, часто используемых для решения задач : Математика

Квадратный трехчлен является основной функцией, изучаемой в школьном курсе математики. Однако, опыт подсказывает, что на вступительных экзаменах задачи с параметрами, решаемые как правило с помощью свойств квадратного трехчлена, вызывают определенные затруднения у учащихся. Довольно много учащихся не знакомы с условиями, необходимыми и достаточными для заданного расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси, не владеют геометрической интерпретацией задач, связанных с квадратным трехчленом, не умеют эффективно применять свойства квадратного трехчлена для решения задач, сформулированных непривычным образом.

Рассмотрим некоторые полезные для практики решения задач свойства квадратного трехчлена.

В дальнейшем будем считать, что квадратный трехчлен с нулевым дискриминантом имеет два равных корня .

  1. Приемы устного решения квадратных уравнений

Многие учащиеся приведенное квадратное уравнение часто решают устно, используя утверждение, обратное теореме Виета: “ Если числа и удовлетворяют системе ,то , есть корни уравнения .

При этом правда часто для обоснования ссылаются на теорему Виета, которая тут ни при чем.

Рассмотрим прием, позволяющий устно находить корни многих произвольных квадратных уравнений с целыми коэффициентами.

Заметим, что корни уравнения получаются из корней уравнения делением на . Действительно:

Следовательно, для решения уравнения , нужно по теореме, обратной теореме Виета, найти корни уравнения , и каждый из них разделить на .

Используя этот прем, решим уравнение .

Вместо этого уравнения, решим методом подбора, используя теорему, обратную теореме Виета, уравнение . Его корни , . Тогда корнями уравнения будут и .

Заметим, что уравнение получается из уравнения умножением коэффициента при на свободный член. Все эти операции при определенном навыке можно сделать устно.

Для устного решения квадратных уравнений полезно использовать равенства и , где . При этом очевидны следующие утверждения:

  1. Если , то один из корней уравнения равен 1, а второй .
  2. Если , то один из корней уравнения равен -1, а другой - .

Используя эти утверждения, решим уравнения:

Следовательно Следовательно

, . , .

2. Исследование знаков корней квадратного уравнения по его коэффициентам

Используя теорему Виета, можно, не решая уравнения , определить знаки его корней. Будем предполагать, что приведенное квадратное уравнение имеет

корни, то есть его дискриминант неотрицателен. Результаты несложных рассуждений можно представить в виде таблицы ( рис.1.)

 

нет корней корни разных знаков

корни разных знаков

3.Расположение на числовой оси действительных корней квадратного трехчлена относительно каких-либо фиксированных точек

Часто на вступительных экзаменах встречаются задачи, в которых требуется выяснить взаимное расположение какого-либо числа и корней квадратного трехчлена на числовой оси.

Следующие теоремы позволяют существенно упростить решение подобного рода задач. Для уменьшения числа разбираемых случаев рассмотрим приведенное квадратное уравнение . Причем, более подробно остановимся на геометрической интерпретации этих теорем. Доказательство теорем при необходимости можно найти в [1] и [2].

Обозначим : , – дискриминант, – координаты вершины параболы .

Теорема 1. Уравнение имеет два корня, каждый из которых меньше некоторого числа тогда и только тогда, когда 

Геометрическая интерпретация теоремы.

Для того,чтобы парабола пересекала ось ОХ в точках и , лежащие левее точки необходимо и достаточно выполнение трех условий:

  1. вершина параболы –точка – должна лежать либо в нижней полуплоскости , либо на оси ОХ ( условие );

2) абсцисса вершины параболы должна лежать левее точки (условие ;

3) парабола в точке должна проходить выше оси ОХ (условие ).

Заметим, что ветви параболы направлены вверх.

Условию теоремы соответствуют два различных расположения параболы относительно оси ОХ и точки . Первый случай (рис.2) описывается системой

Рисунок 2

Второй случай (рис.3) описывается системой

Рисунок 3

Теорема 2. Уравнение имеет два корня, каждый из которых больше некоторого числа тогда и только тогда, когда

Геометрическая интерпретация теоремы.

Для того,чтобы парабола пересекала ось ОХ в точках и , лежащих правее точки , необходимо и достаточно выполнение трех условий:

  1. вершина параболы – точка , должна лежать либо в нижней
  2. полуплоскости, либо на оси ОХ (условие ;

  3. абсцисса вершины параболы должна лежать правее точки
  4. (условие );

  5. парабола в точке должна проходить выше оси ОХ (условие ).

Условию теоремы соответствуют два различных расположения параболы относительно оси ОХ и точки .

Первый случай (рис.4) описывается системой

Рисунок 4

Второй случай (рис.5) описывается системой

Рисунок 5

Теорема 3. Уравнение имеет два корня, один из которых больше числа , а другой меньше , тогда и только тогда, когда .

Геометрическая интерпретация теоремы.

Для того, чтобы парабола пересекала ось ОХ в точках и , между которыми лежит точка , необходимо и достаточно выполнения условия : парабола в точке должна проходить ниже оси ОХ.

Условию теоремы соответствует одно положение параболы (рис.6).

Рисунок 6

Условия расположения корней квадратного трехчлена относительно некоторых чисел и в общем случае приведены в таблице (рис.7). Там дана и геометрическая интерпретация.

В таблице и – корни квадратного трехчлена , .

, -абсцисса вершины параболы , и – некоторые числа, .

Как и в предыдущих теоремах 1-3 :

  1. условие означает, что парабола имеет две точки
  2. пересечения с осью абсцисс;

  3. знак коэффициента определяет направление ветвей параболы;
  4. Для того,

    чтобы

    Геометрическая иллюстрация

    Необходимо и

    достаточно

    D>0, a>0 D>0, a>0 D>0

    D>0, a<0

    1.

     

     

     

     

     

     

    2.

     

     

     

     

     

    3.

     

     

     

     

    4.

     

     

     

     

    5.

     

     

     

     

    6.

     

     

     

     

     

    7.

     

     

     

     

    Рис.7

  5. знак величин , определяет выше или ниже оси ОХ проходит пара бола в точках , ;
  • условие определяет положение вершины параболы относительно точки .
  • Таким образом, каждую “картинку” в таблице (рис.7) можно рассматривать как теорему. Эти теоремы с успехом применяются при исследовании квадратных уравнений, коэффициенты которых являются функциями от одного параметра.

    Список литературы:

    1. Моденов П.С., Новоселов С.И. Пособие по математике для поступающих
    2. в вузы. Изд-во МГУ,1966.

    3. Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах.– Львов,1991 г.(Квантор; №2).
    4. Марков В.К. Метод координат и задачи с параметрами. Изд-во МГУ,1970.
    5. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.-М.: Илекса, Харьков: Гимназия,1998.

© Блог Димы Шпилера / Школа и школьники

Читать еще:

Новые материалы:

Самостоятельная работа на уроках математики как одна из форм развивающего обучения :: Какую информацию должна нести школьная отметка? :: Новый предмет - синкретика :: Развитие музыкальных способностей младших школьников в процессе обучения пению :: Урок-практикум по подготовке к ЕГЭ :: Собибор, 2017 :: Дом и дача/Интерьер/Зеркала/Мебель для спальни/Туалетные столики, зеркала/Зеркала / Мебелик / Зеркало настенное Мебелик ::

Оставить комментарий (facebook):
Комментировать через ВКонтакте:

Оставить отзыв с помощью аккаунта Google+:

Самое популярное:
Состояние воздуха: Карта загрязнения воздуха онлайн, обновляется в режиме реального времени

Экологическая карта состояния воздуха, которым мы дышим. В режиме реального времени.

Звуко-буквенный разбор слов

Научить детей реально оперировать звуками, т.е. развивать фонетический слух.

Девятая жизнь Луи Дракса (The 9th Life of Louis Drax, Великобритания, 2016) - спойлеры, пересказ, трактовка

Этот фильм заслуживает растаскивания на цитаты. "С возрастом я сам научился понимать, чего от меня хотят", "Мужчины всегда думают, что раз она красивая - значит, она хорошая" - и много другого. Вообще очень достоверный фильм в отношении психологических деталей. Рекомендую к просмотру.

Обитель зла: Последняя глава ( Resident Evil: The Final Chapter ), 2016

В предыдущей части франшизы Вескер предал Элис в Вашингтоне, и героиня лишилась своих сверхъестественных способностей и стала уязвимой для врагов. Однако она не бросила бороться за выживание человечества. Вместе со своими старыми знакомыми Элис отправляется туда, где все начиналось – в Раккун Сити. Тем временем корпорация «Амбрелла» готовит последний сокрушительный удар по выжившим в апокалипсисе людям. Элис предстоит сразиться с ордами зомби и новыми монстрами-мутантами ради спасения остатков человечества.

Детский оздоровительный лагерь: Муниципальное образовательное учреждение дополнительного образования детей "Детский оздоровительно-образовательный лагерь "Юность"

В предыдущей части франшизы Вескер предал Элис в Вашингтоне, и героиня лишилась своих сверхъестественных способностей и стала уязвимой для врагов. Однако она не бросила бороться за выживание человечества. Вместе со своими старыми знакомыми Элис отправляется туда, где все начиналось – в Раккун Сити. Тем временем корпорация «Амбрелла» готовит последний сокрушительный удар по выжившим в апокалипсисе людям. Элис предстоит сразиться с ордами зомби и новыми монстрами-мутантами ради спасения остатков человечества.

План-конспект занятия по сольфеджио «Игровые формы работы на уроке сольфеджио». 1-й класс музыкальной школы

Метод дидактической игры на уроках сольфеджио применяется, в основном, для учащихся младшего школьного возраста. Он делает занятия увлекательными и интересными, позволяет поддерживать у детей интерес к учебной деятельности, осуществлять её более успешно. Данный план-конспект занятия по сольфеджио раскрывает различные игровые формы работы на уроке с учащимися 1-го класса.


Школьные занятия:
RSS (видео) // RSS (статьи)
Педагогические материалы:

контакты
 
Рейтинг@Mail.ru
ADD