детские
Хелси и Смарт официальный сайт
Хелси и Смарт официальный сайт

Дробно-линейная функция : Математика

Функция у = и её график.

ЦЕЛИ:

1) ввести определение функции у = ;

2) научить строить график функции у = , используя программу Agrapher;

3) сформировать умение строить эскизы графиков функции у = , используя свойства преобразования графиков функций;

4) научить читать графики функций у =.

I. Новый материал – развёрнутая беседа.

У: Рассмотрим функции, заданные формулами у = ; у = ; у = .

Что представляют собой выражения, записанные в правых частях этих формул?

Д: Правые части этих формул имеют вид рациональной дроби, у которой числитель-двучлен первой степени или число, отличное от нуля, а знаменатель-двучлен первой степени.

У: Такие функции принято задавать формулой вида

у = (1).

Рассмотрите случаи когда а) с = 0 или в) = .

(Если во втором случае учащиеся будут испытывать затруднения, то нужно попросить их выра зить с из заданной пропорции и затем подставить полученное выражение в формулу (1)).

Д1: Если с = 0, то у = х + в – линейная функция.

Д2: Если = , то с = . Подставив значение с в формулу (1) получим:

= = = , то есть у = - линейная функция.

У: Функция, которую можно задать формулой вида у =, где буквой х обозначена незави-

симая переменная, а буквами а, в, с и d – произвольные числа, причём с0 и аd – вс 0, называется дробно-линейной функцией.

Покажем, что графиком дробно-линейной функции является гипербола.

Пример 1. Построим график функции у = . Выделим из дроби целую часть.

Имеем: = = = 1 + .

График функции у = +1 можно получить из графика функции у = с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Х и сдвига на 1 единицу вверх в направлении оси У. При этих сдвигах переместятся асимптоты гиперболы у = : прямая х = 0 (т. е. ось У) – на 2 единицы вправо, а прямая у = 0 (т. е. ось Х) – на одну единицу вверх. Прежде чем строить график, проведём на координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямые х = 2 и у = 1 (рис. 1а). Учитывая, что гипербола состоит из двух ветвей, для построения каждой из них составим, используя программу Agrapher, две таблицы: одну для х>2, а другую для х<2.

х 1 0 -1 -2 -4 -10
у -5 -2 -1 -0,5 0 0,5
х 3 4 5 6 8 12
у 7 4 3 2,5 2 1,6

Отметим (с помощью программы Agrapher) в координатной плоскости точки, координаты которых записаны в первой таблице, и соединим их плавной непрерывной линией. Получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, воспользовавшись второй таблицей, получим вторую ветвь гиперболы (рис. 1б).

Пример 2. Построим график функции у = -.Выделим из дроби целую часть, разделив двучлен 2х + 10 на двучлен х + 3. Получим = 2 + . Следовательно, у = --2.

График функции у = --2 можно получить из графика функции у = - с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 3 единицы влево и сдвига на 2 единицы вниз. Асимптоты гиперболы – прямые х = -3 и у = -2. Составим (с помощью программы Agrapher) таблицы для х<-3 и для х>-3.

х -2 -1 1 2 7
у -6 -4 -3 -2,8 -2,4
х -4 -5 -7 -8 -11
у 2 0 -1 -1,2 -1,5

Построив (с помощью программы Agrapher) точки в координатной плоскости и проведя через них ветви гиперболы, получим график функции у = - (рис. 2).

У: Что является графиком дробно-линейной функции?

Д: Графиком любой дробно-линейной функции является гипербола.

У: Как построить график дробно-линейной функции?

Д: График дробно-линейной функции получается из графика функции у = с помощью параллельных переносов вдоль осей координат, ветви гиперболы дробно-линейной функции симметричны относительно точки (-. Прямая х = - называется вертикальной асимптотой гиперболы. Прямая у = называется горизонтальной асимптотой.

У: Какова область определения дробно-линейной функции?

Д: D(y) =

У: Какова область значений дробно-линейной функции?

Д: Е(у) = .

У: Есть ли у функции нули?

Д: Если х = 0, то f(0) = , d. То есть у функции есть нули – точка А.

У: Есть ли у графика дробно-линейной функции точки пересечения с осью Х?

Д: Если у = 0, то х = -. Значит, если а , то точка пересечения с осью Х имеет координаты . Если же а = 0, в , то точек пересечения с осью абсцисс график дробно-линейной функции не имеет.

У: Функция убывает на промежутках всей области определения, если bc-ad > 0 и возрастает на промежутках всей области определения, если bc-ad < 0. Но это немонотонная функция.

У: Можно ли указать наибольшее и наименьшее значения функции?

Д: Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

У: Какие прямые являются асимптотами графика дробно-линейной функции?

Д: Вертикальной асимптотой является прямая х = -; а горизонтальной асимптотой – прямая y = .

(Все обобщающие выводы-определения и свойства дробно-линейной функции учащиеся записывают в тетрадь)

II. Закрепление.

При построении и “чтении” графиков дробно-линейных функций применяются свойства программы Agrapher

  1. Постройте график функции: а) у = (рис. 3а); б) у = (рис. 3б).
  2. Найдите область определения и область значений функции f, если: a) f(x) = (рис. 3в), б) f(x) = (рис. 3г).
  3. Укажите асимптоты гиперболы – графика функции: а) у = (рис. 4а); б) у = - (рис. 4б); в) у = .

III. Обучающая самостоятельная работа.

  1. Найдите центр гиперболы, асимптоты и постройте график функции:

а) у = б) у = в) у = ; г) у = ; д) у = ; е) у = ;

ж) у = з) у = -

Каждый учащийся работает в своём темпе. При необходимости учитель оказывает помощь, задавая вопросы, ответы на которые помогут ученику правильно выполнить задание.

Лабораторно-практическая работа по исследованию свойств функций у = и у = и особенностей графиков этих функций.

ЦЕЛИ: 1) продолжить формирование умений строить графики функций у = и у = , используя программу Agrapher;

2) закрепить навыки “чтения графиков” функций и способностей “предсказывать” изменения графиков при различных преобразованиях дробно – линейных функций.

I. Дифференцированное повторение свойств дробно–линейной функции.

Каждому учащемуся выдаётся карточка – распечатка c заданиями. Все построения выполняются с помощью программы Agrapher. Результаты выполнения каждого задания обсуждаются сразу же.

Каждый ученик с помощью самоконтроля может скорректировать результаты, полученные при выполнении задания и попросить помощи у учителя или ученика – консультанта.

  1. Постройте график функции у = - Используя график, найдите значение У, соответствующее значению Х. равному 1,5; 8; -1,5; -2,5.
  2. Постройте график функции f(x) =

Найдите значение аргумента Х, при котором f(x) =6 ; f(x) =-2.5.

3. Постройте график функции у = Определите, принадлежит ли графику данной функции точка: а) А(20;0.5); б) В(-30;-); в) С(-4;2.5); г) Д(25;0,4)?

4. Постройте график функции у = Найдите промежутки в которых у>0 и в которых у<0.

5. Постройте график функции у = . Найдите область определения и область значений функции.

6. Укажите асимптоты гиперболы – графика функции у = -. Выполните построение графика.

7. Постройте график функции у = . Найдите нули функции.

II.Лабораторно-практическая работа.

Каждому ученику выдаются 2 карточки: карточка №1 “Инструкция” с планом, по которому выполняется работа, и текстом с заданием и карточка №2 “Результаты исследования функции”.

Примерное содержание карточки “Инструкции”:

  1. Постройте график указанной функции.
  2. Найдите область определения функции.
  3. Найдите область значения функции.
  4. Укажите асимптоты гиперболы.
  5. Найдите нули функции (f(x) = 0).
  6. Найдите точку пересечения гиперболы с осью Х (у = 0).

7. Найдите промежутки в которых : а) у<0; б) y>0.

8. Укажите промежутки возрастания (убывания) функции.

I вариант.

Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = - в) у = г) у = д) у = е) у = . -5-

Дополнительное задание.

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = - и у = х-7; б) у = и у = х+2х+3.

I I вариант.

Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = - в) у = г) у = д) у = е) у = .

Дополнительное задание.

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = и у = х+2; б) у = и у = х-2х+3.

I I I вариант.

Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = - в) у = г) у = д) у = - е) у = .

Дополнительное задание.

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = - и у = -х-1; б) у = --2 и у = -х-2х-3.

I V вариант.

1. Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = - в) у = г) у = - д) у = - е) у = .

Дополнительное задание.

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = и у = х+1; б) у = - и у = - х-2х-5.

Примерное содержание карточки “Результаты исследования функции" см. “Приложение 1”.

Список литературы.

  1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Алгебра 8 класс: Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики.- М.: Мнемозина, 2001г.
  2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса с углубленным изучением математики.- М.: Просвещение, 2001г.
  3. Звавич Л. И., Рязановский А. Р. Алгебра 8 класс: Задачник для класса с углубленным изучением математики. – М. Мнемозина,2002 г.
  4. Виленкин Н. Я., Сурвилло Г. С., Симонов А.С., Кудрявцев А. И. Алгебра для 9 класса : Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1996г.
  5. Зив Б. Г., Гольдич В. А. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. С. – П. Черо – на – Неве, 2001г.

© Блог ВМЭШ / Школа и школьники

Читать еще:

Новые материалы:

Игра "Математическая охота" :: Задачи с практическим содержанием на уроках математики в сельской школе :: Воспитательный потенциал урока математики. :: Игра КВМ — "Клуб веселых математиков-2003" :: Литературный журнал :: Поэтика рассказов В.Г.Короленко :: Откройте занавес души ::

Оставить комментарий (facebook):
Комментировать через ВКонтакте:

Оставить отзыв с помощью аккаунта Google+:


Школьные занятия: Самое популярное:
Звуко-буквенный разбор слов : Начальная школа - Хелси и Смарт

Научить детей реально оперировать звуками, т.е. развивать фонетический слух.

Интерактивная карта загрязнения воздуха онлайн, обновляется в режиме реального времени

Экологическая карта загрязнения воздуха, которым мы дышим. В режиме реального времени.

Тесты для задания 7 ЕГЭ по русскому языку : Русский язык

Представленные тесты дают возможность учащимся приобрести практические навыки, связанные с нахождением нарушений синтаксической нормы. Умение видеть и исправлять данный вид ошибок при построении предложений позволяет не только дать правильный ответ при выполнении этого задания, но и не допускать подобных ошибок в сочинительной части экзамена.

Сценарий Новый Год для детей подготовительной группы - Хелси и Смарт

Сценарий Новый Год для детей подготовительной группы

Приемы самообезболивания родов - Хелси и Смарт

Приемы самообезболивания родов


RSS (видео) // RSS (статьи)
Педагогические материалы:

контакты
 
Рейтинг@Mail.ru
ADD